/Zahlen, bitte! Das Plancksche Wirkungsquantum – vom Hotfix zur Quantenphysik

Zahlen, bitte! Das Plancksche Wirkungsquantum – vom Hotfix zur Quantenphysik

Zahlen, bitte! Ein kleines Quantum mit großer Wirkung

Das Plancksche Wirkungsquantum begründete nicht nur die Quantenphysik, sondern verbindet Eigenschaften von Wellen und Teilchen. Nicht zuletzt spielt es bei der Heisenbergschen Unschärferelation eine entscheidende Rolle.

Das wirklich winzige Planksche Wirkungsquantum h = 6,626 × 10-34 Js (Joule × Sekunde) gehört zu den universellen Naturkonstanten und spielt auch bei der Neudefinition des Kilogramm eine wichtige Rolle. Das soll nämlich zu einer abgeleiteten Größe aus Planckschem Wirkungsquantum, Lichtgeschwindigkeit und Cäsium-Frequenz werden:

1 kg = 1,475521 … ×1040 (h·fCs/c²)

Max Planck “entdeckte” h, als er versuchte, im Jahr 1889 die Wärmestrahlung schwarzer Körper theoretisch zu beschreiben. Als schwarzen Körper bezeichnen Physiker ein System, das sämtliche Strahlung absorbiert. Weil sich ein solches System sehr gut durch einen Hohlraum mit einer winzigen Messöffnung beschreiben lässt, spricht man auch von “Hohlraumstrahlung”.

Zahlen, bitte!

In dieser Rubrik stellen wir jede Woche Dienstag verblüffende, beeindruckende, informative und witzige Zahlen aus den Bereichen IT, Wissenschaft, Wirtschaft und der Mathematik selbst vor.

Bei hohen Frequenzen ließen sich die Messwerte gut mit dem empirisch ermittelten Wienschen Strahlungsgesetz beschreiben, das sich aber nicht aus der klassischen Thermodynamik ableiten ließ. Es beschreibt das Spektrum durch einen negativen Exponentialfaktor, der vom Quotienten aus Frequenz und der Temperatur abhängt.

Für seinen Versuch einer theoretischen Ableitung betrachtete Planck die Hohlraumstrahlung als eine Vielzahl harmonischer Oszillatoren unter Berücksichtigung der Entropie. Daraus leitete Planck theoretisch eine Formel in Form des Wienschen Strahlungsgesetzes ab, deren einer Parameter mit 6,885 · 10−34 Js nur geringfügig über der später als Wirkungsquantum bezeichneten Konstante h lag. Die Bedeutung des Parameters lag noch völlig im Dunkeln.


berlin-brandenburgische Akademie der Wissenschaften

In den Sitzungsberichten der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin gab Planck erstmals den Wert von h an (dort noch schlicht als Parameter b bezeichnet), der in Js umgerechnet nur wenige Prozent über dem tatsächlichen Wert von h liegt.

(Bild: 
berlin-brandenburgische Akademie der Wissenschaften / Hervorhebung heise online
)

Bei genaueren Messungen der Wärmestrahlung schwarzer Körper stellte sich allerdings heraus, dass die Formel für niedrige Frequenzen (oder große Wellenlängen) falsch war. Stattdessen ließ sich das Spektrum hier mit dem aus der klassischen Thermodynamik abgeleiteten Rayleigh-Jeans-Gesetz beschreiben. Dieses würde bei hohen Frequenzen wiederum zu einer “Ultraviolett-Katastrophe” führen, kann also auch nicht vollständig richtig sein. Die Wahrheit musste also irgendwo dazwischen liegen. Planck bastelte quasi als “Hotfix” eine interpolierende Formel, die für niedrige Frequenzen in das Rayleigh-Jeans-Gesetz überging und für hohe Frequenzen in das Wiensche Strahlungsgesetz.

Im Nachgang legte Planck auch die theoretischen Grundlagen, indem er aus dem Hotfix sein Strahlungsgesetz ableitete. Das setzte allerdings voraus, dass die Oszillatoren nur in diskreten (quantisierten) Energiestufen ΔE = h · f Energie austauschen können, wobei h eine Konstante und f die Frequenz des Oszillators ist. Das h stand dabei schlicht für “Hilfsgröße”, etablierte sich später aber als Abkürzung für das Wirkungsquantum. Das besondere an Plancks einfacher Formel: Sie verbindet Teilcheneigenschaften (Energie) mit Welleneigenschaften (Frequenz). Obwohl Planck die Quantelung der Energiezustände einführte, verstand er diese aber nicht als Eigenschaft der Lichtwellen, sondern schrieb sie den Hohlraumstrahlern selbst zu.

Die Lichtquantenhypothese führte erst Albert Einstein ein. Den Lichtquanten (oder Photonen) schrieb er die Energie E = h · f zu und konnte so den Photoelektrischen Effekt erklären, was ihm 1922 den Nobelpreis einbrachte. Dabei erkannte Einstein, dass elektromagnetische Strahlung mal Wellen- und mal Teilcheneigenschaften zeigte. Dieser Welle-Teilchen-Dualismus brachte … und bringt noch heute … so manchen Physiker zur Verzweiflung 😉

Damit nicht genug, leitete Werner Heisenberg (der Physiker, nicht der Deckname aus “Breaking Bad”), der übrigens heute vor 116 Jahren geboren wurde, 1927 seine berühmte Unschärferelation ab, in der das Wirkungsquantum ebenfalls eine elementare Rolle spielt:

Δp × Δx ≥ h/4π

Δx ist dabei die Ungenauigkeit der Messung des Ortes eines Objekts, Δp die des Impulses. Oft begegnet einem die Unschärferelation auch in der Schreibweise: Δp × Δx ≥ ħ/2. ħ (“h quer”) ist dafür eine Abkürzung für ħ = h/(2π) – Physiker stehen auf so etwas.

Die Unschärfe- oder Unbestimmtheitsrelation sagt somit aus, dass bei der Messung des Ortes eines Objekts zwingend dessen Impuls beeinflusst wird. Je genauer man den Ort bestimmen will, desto ungenauer ist die Impulsmessung und umgekehrt. Es lassen sich also Ort und Impuls nie gleichzeitig beliebig genau messen. Die Relation lässt sich auch auf andere konjugierte (zusammenhängende) Messgrößen erweitern. Für den makroskopischen Alltag spielt die Unschärferelation wegen der Winzigkeit von h keine Rolle, sie wird erst auf mikroskopischem Level relevant.

Einige können sich aus der Schulzeit vielleicht noch an eine etwas vereinfachte Form der Unschärferelation erinnern:

Δp × Δx ≈ h

Diese wird typischerweise bei der Erläuterung des Welle-Teilchen-Dualismus mit einem Beugungsexperiment an einem Spalt abgeleitet:


Beugung eines Elektronenstrahls mit Impuls p an einem Spalt. Die Ortsunschärfe ist durch die halbe Spaltbreite gegeben:

Spaltexperiment zur einfachen Ableitung der Heisenbergschen Unschärferelation

Die Ortsunschärfe Δx ist durch die Spaltbreite bestimmt, die Impulsunschärfe durch das erste Minimum des Beugungsbildes. Der Gangunterschied der Welle bei erstem Minimum beträgt mindestens eine Wellenlänge, also λ = Δx × sin α, die Impulsunschärfe ist Δp ≈ p × sin α. Um einen Zusammenhang zwischen Wellenlänge und Impuls herzustellen braucht man noch die De-Brogle-Wellenlänge: λ = h/p, mit deren Hilfe die Gleichung Δp × Δx ≈ h folgt. Der fehlende Faktor 4π spielt keine wesentliche Rolle, da es bei der Unschärferelation vornehmlich um die Größenordnungen geht.


(vza)